Indikator- indikator pencapaian kecakapan ini, meliputi: a mengajukan dugaan conjecture , b menarik kesimpulan dari suatu pernyataan, c memberikan alternatif bagi suatu argumen, d menemukan pola pada suatu gejala matematis.
Masalah ada yang bersifat rutin maupun yang tidak rutin. Masalah tidak rutin adalah masalah baru bagi siswa, dalam arti memiliki tipe yang berbeda dari masalah-masalah yang telah dikenal siswa.
Untuk menyelesaikan masalah tidak rutin, tidak cukup bagi siswa untuk meniru cara penyelesaian masalah-masalah yang telah dikenalnya, melainkan ia harus melakukan usaha-usaha tambahan, misalnya dengan melakukan modifikasi pada cara penyelesaian masalah yang telah dikenalnya, atau memecah masalah tidak rutin itu ke dalam beberapa masalah yang telah dikenalnya, atau merumuskan ulang masalah tidak rutin itu menjadi masalah yang telah dikenalnya.
Indikator-indikator pencapaian kecakapan ini, meliputi: a memahami masalah, b mengorganisasi data dan memilih informasi yang relevan dalam mengidentifikasi masalah, c menyajikan suatu rumusan masalah secara matematis dalam berbagai bentuk, d memilih pendekatan dan strategi yang tepat untuk memecahkan masalah, e menggunakan atau mengembangkan strategi pemecahan masalah, f menafsirkan hasil jawaban yang diperoleh untuk memecahkan masalah, g menyelesaikan masalah. Indikator-indikator pencapaian kecakapan ini, meliputi: a memberikan alasan atau bukti terhadap kebenaran suatu pernyataan, b Menduga dan memeriksa kebenaran dugaan conjecture , c memeriksa kesahihan atau kebenaran suatu argumen dengan penalaran induksi, d Menurunkan atau membuktikan rumus dengan penalaran deduksi, e Menduga dan memeriksa kebenaran dugaan conjecture.
Indikator-indikator pencapaian kecakapan ini, meliputi: a memiliki rasa ingin tahu yang tinggi, b bersikap penuh perhatian dalam belajar matematika, c bersikap antusias dalam belajar matematika, d bersikap gigih dalam menghadapi permasalahan, e memiliki penuh percaya diri dalam belajar dan menyelesaikan masalah.
Kecakapan atau kemampuan-kemampuan tersebut saling terkait erat, yang satu memperkuat sekaligus membutuhkan yang lain. Sekalipun tidak dikemukakan secara eksplisit, kemampuan berkomunikasi muncul dan diperlukan di berbagai kecakapan, misalnya untuk menjelaskan gagasan pada Pemahaman Konseptual, menyajikan rumusan dan penyelesaian masalah, atau mengemukakan argumen pada penalaran.
Dengan belajar matematika diharapkan siswa dapat memperoleh manfaat berikut:. Dengan belajar matematika, otak kita terbiasa untuk memecahkan masalah secara sistematis.
Sehingga bila diterapkan dalam kehidupan nyata, kita bisa menyelesaikan setiap masalah dengan lebih mudah. Kesimpulan ditarik dari hal-hal yang bersifat umum. Bukankah begitu? Coba saja, masih ingatkah teman-teman saat mengerjakan soal-soal matematika?
Kita harus memperhatikan benar-benar berapa angkanya, berapa digit nol di belakang koma, bagaimana grafiknya, bagaimana dengan titik potongnya dan lain sebagainya. Jika kita tidak cermat dalam memasukkan angka, melihat grafik atau melakukan perhitungan, tentunya bisa menyebabkan akibat yang fatal. Jawaban soal yang kita peroleh menjadi salah dan kadang berbeda jauh dengan jawaban yang sebenarnya.
Saat kita mengerjakan soal dalam matematika yang penyelesaiannya sangat panjang dan rumit, tentu kita harus bersabar dan tidak cepat putus asa. Jika ada langkah yang salah, coba untuk diteliti lagi dari awal.
Jangan-jangan ada angka yang salah, jangan-jangan ada perhitungan yang salah. Namun, jika kemudian kita bisa mengerjakan soal tersebut, ingatkah bagaimana rasanya? Rasa puas dan bangga tentunya jika dikerjakan sendiri. Tentunya dalam dunia ini, menghitung uang, laba dan rugi, masalah pemasaran barang, dalam teknik, bahkan hampir semua ilmu di dunia ini pasti menyentuh matematika.
Pengantar Bab terdiri atas judul bab, Kompetensi Dasar, kata kunci, deskripsi materi, dan pengalaman belajar yang diharapkan akan didapatkan siswa setelah pembelajaran pada tiap-tiap bab. Peta konsep berisi diagram keterkaitan antar materi pada tiap-tiap bab. Tokoh matematika berisi narasi seorang tokoh matematika yang dipilih sesuai dengan materi yang akan dibahas pada bab tertentu.
Selain menjelaskan sejarah dan keterkaitan tokoh tersebut terhadap materi yang akan dibahas, juga membahas hikmah yang bisa dicontoh dari tokoh tersebut. Isi materi berupa kegiatan pembelajaran yang menuntut siswa secara aktif untuk terlibat dalam pembelajaran sehingga siswa akan mendapatkan pengalaman yang diharapkan.
Setiap proses pembelajaran berisi konteks atau masalah terkait dengan kegiatan. Masalah yang disajikan ada yang diberikan beserta pemecahannya, ada yang dilengkapi dengan petunjuk pemecahan masalah, dan ada yang dibiarkan berupa masalah untuk dipecahkan siswa. Setiap proses pembelajaran mengikuti pendekatan ilmiah, yaitu mengamati, mencoba, menanya, menggali informasi, menalar, menyimpulkan, dan mengomunikasikan yang disajikan dengan ikon-ikon tertentu.
Pengalaman belajar pada bagian Ayo Kita Amati dapat dilakukan dengan cara membaca, mendengar, menyimak, melihat tanpa atau dengan alat objek-objek matematika tertentu terkait masalah atau topik kegiatan. Hasil pengamatan dapat berupa definisi, aksioma, postulat, teorema,sifat, grafik dan lain sebagainya.
Pengalaman belajar mengamati ini diharapkan dapat memfasilitasi siswa dalam mengembangkan dan melatih kesungguhan, ketelitian, dan kemampuan mencari informasi. Pengalaman belajar pada bagian Ayo Kita Mencoba dapat dilakukan dengan cara melakukan percobaan pada objek-objek matematika tertentu terkait masalah atau topik kegiatan.
Ukuran dan luas kamar mandi sebenarnya c. Luas taman depan sebenarnya d. Bagaimana pula cara mengukur tinggi bangunan atau pohon yang tinggi tanpa mengukurnya secara langsung?
Ukuran salinan gambar dapat disesuaikan dengan mengubah titik tetap posisi sumbu. Pensil gambar salinan berada pada titik C. Nah, dengan menyelesaikan permasalahan di atas kamu telah menggunakan konsep kesebangunan dua bangun yaitu gambar asli dengan gambar hasil perbesarannya. Bandingkan hasilnya dengan temanmu.
Buatlah sekali lagi. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar. Contoh 4. Silakan tanyakan pada guru dan temanmu. Perhatikan gambar berikut. Apakah '. N Buktikan. Apakah kedua segitiga tersebut sebangun? Perhatikan gambar.
Pasangan segitiga yang sebangun. Pasangan sudut yang sama besar dari masing- masing pasangn segitiga yang sebangun tersebut.. Pasangan sisi bersesuaian dari masing-masing pasangan segitiga yang sebangun tersebut. P dan Q berturut-turut adalah titik tengah LN dan. Jika tenyata tinggi pohon sebenarnya adalah 10 m, tentukan tinggi rumah tersebut sebenarnya. Perkirakan tinggi bukit tersebut.
Di mana letak kesalahannya? Proyek 4 Kerjakan proyek di bawah ini bersama kelompokmu. Coba carilah gedung, pohon, tiang listrik atau tiang bendera yang ada di sekitar sekolahmu. Bersama temanmu, a.
Berdasarkan strategi yang kamu buat, perkirakan berapa gedung, pohon, tiang listrik atau tiang bendera tersebut? Buatlah strategi untuk memperkirakan lebar sungai atau danau tersebut dengan menggunakan konsep kesebangunan atau kekongruenan dua segitiga. Apakah pasangan segitiga berikut ini pasti kongruen?
Apakah bangun di bawah ini pasti sebangun? Dari tiap-tiap pasangan segitiga sebangun tersebut, tentukan pasangan sisi yang bersesuaian dan buat N perbandingannya. Dua belas tusuk gigi disusun seperti pada gambar di samping. Enam belas tusuk gigi disusun seperti gambar di samping. Dengan memindahkan hanya dua tusuk gigi bagaimana kamu membentuk empat persegi? Di tengahnya terdapat 1 lubang kotak dengan luas luas seluruhnya. Satu peserta lain berdiri di titik C.
Apakah cara tersebut tepat utuk menaksir lebar sungai? Mengenali bangun tabung, kerucut dan bola beserta unsur-unsurnya. Menentukan jaring-jaring tabung, kerucut dan bola. Menentukan hubungan antara luas alas dan tinggi dengan volume.
Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan bangun ruang sisi lengkung. Salah satu kisah yang cukup terkenal adalah tentang bagaimana Archimedes menemukan metode yang digunakan untuk mengukur volume benda yang berbentuk tidak teratur. Cerita ini bermula ketika Sumber: www. Archimedes diminta memeriksa apakah mahkota itu terbuat dari emas murni atau tidak.
Leonardo Fibonacci Archimedes diminta memeriksa keaslian mahkota tersebut tanpa merusaknya. Ia memikirkan hal ini secara sungguh-sungguh. Prinsip ini lantas dikenal sebagai Hukum Archimedes. Archimedes adalah orang yang mempunyai rasa ingin tahu yang sangat tinggi.
Archimedes selalu berusaha untuk berinovasi dan menemukan sesuatu yang baru. Kaleng susu yang masih ada labelnya 2. Kertas karton 5. Cutter atau gunting. Gunting gambar yang diperoleh dari Langkah 5.
Apakah dari gambar yang telah digunting kamu dapat membuat tabung? Ayo Bertanya Dari pengamatanmu terhadap unsur-unsur tabung buatlah beberapa pertanyaan. Bagaimana bentuk selimut tabung? Kegiatan 5. Bagaimana bentuk muka atau sisi tabung? Berapa banyak sisi tabung tabung? Berdasarkan Kegiatan 5. Ambil salah satu uang koin dan ukurlah diameternya. Hitunglah luas permukaan koin tersebut. Perkirakan volume tabung yang terbentuk dari tumpukan uang koin tersebut. Sumber: Dokumen Kemdikbud c.
Berdasarkan butir b, tentukan rumus untuk Gambar 5. Hanya dengan memperhatikan kedua 2 tabung, manakah yang memiliki volume lebih besar? Ayo Kita Simpulkan a. Gunakan kalimatmu sendiri.
Bagaimana cara kamu menentukan volume tabung? Benda-benda dalam kehidupan sehari-hari yang menyerupai tabung adalah tong sampah, kaleng susu, lilin dan pipa. Contoh 5. Ayo Kita Tinjau Ulang 1. Perhatikan kembali soal pada Contoh 5. Latihan 5. Hitung luas permukaan dan volume dari bangun tabung berikut ini: 4 cm 4 cm 7 cm 10 cm 6 cm 12 cm a.
Gambar disamping merupakan suatu magnet r2 r1 silinder. Alas dari magnet tersebut dibentuk dari dua lingkaran yang sepusat. Pondasi rumah. Alas dari pondasi rumah pak 20 cm Ahmad berbentuk seperti gambar di samping.
Tabung miring. Pada gambar di bawah terdapat dua buah bangun sisi lengkung. Apakah volume rumus tabung miring sama dengan volume tabung? Jelaskan analisismu. Kaleng susu. Suatu perusahaan susu memiliki kotak susu ukuran 40 cm u 60 cm u 20 cm. Kapasitas maksimal kotak tersebut adalah 48 kaleng susu. Perusahaan tersebut membuat peraturan: i. Nilai r dan t harus bilangan bulat.
Luas permukaan kaleng tersebut harus seminimal mungkin. Alat tulis dan spidol merah. Kertas karton. Buat garis lurus vertikal dari titik puncak dengan menggunakan spidol merah. Dengan menggunakan gunting, potong topi sesuai garis merah. Gunting gambar yang diperoleh dari Langkah 6.
Apakah dari gambar yang telah digunting kamu dapat membuat kerucut? Bagaimana bentuk selimut kerucut? Kita beri nama dengan lingkaran S. Juring ABC 1. Kertas karton 2. Double tape Langkah-langkah dari Kegiatan 5.
Isi kerucut dengan beras atau pasir sampai penuh kemudian pindahkan semuanya ke tabung. Ulangi langkah ini sampai tabung terisi penuh. Berapa kali kamu mengisi tabung sampai penuh dengan menggunakan kerucut?
Gunakan hasil d untuk menentukan hubungan antara volume tabung dan volume kerucut. Bagaimana caramu menentukan volume kerucut? Pada suatu hari Pak Budi melakukan syukuran rumah baru.
Berapakah luas permukaan dan volume dari tumpeng yang tersisa? Nilai dari t. Nilai dari A. Budi menghitung volume kerucut dengan diameter 10 cm dan tinggi 12 cm. Kemukakan alasanmu. Kerucut miring. Padagambar di bawahterdapat dua buah bangun sisi lengkung. Apakah volume rumus kerucut miring sama dengan volume kerucut? Perhatikan kerucut di samping. Bola plastik ukuran kecil sebanyak tiga 2.
Pensil dan penggaris 5. Kertas karton 6. Lem Langkah-langkah dari kegiatan ini adalah 1. Ambil salah satu bola. Ulangi terus sampai potongan-potongan bola sudah habis. Dari Langkah 5, dapat disimpulkan bahwa luas permukaan bola sama dengan Untuk lebih meyakinkan, ulangi Langkah 1 sampai dengan Langkah 6 dengan menggunakan bola kedua dan ketiga. Bagaimana cara menentukan luas permukaan bola?
Sekarang ikuti langkah-langkah berikut. Hitung luas tabung. Lubangi bola plastik dengan menggunakan cutter. Isi bola plastik yang sudah berlubang dengan pasir sampai penuh.
Kemudian pindahkan semua pasir pada bola ke tabung terbuka. Ulangi langkah ini sampai kedua tabung terisi penuh. Hitung volume dari tabung tersebut dan gunakan hasil dari. Berapakah luas permukaan bangun setengah bola tertutup berikut: 8 cm 12 cm 12 cm a. Nilai r b. Nilai A 6. Bangun di samping dibentuk dari dua setengah r1 bola yang sepusat. Analisis kesalahan.
Timbangan dan kelereng. Andi punya dua macam kelereng. Isi tiap-tiap botol dengan air dan hitung volumenya. Presentasikan hasilnya didepan kelas. Apakah luas permukaan bangun sebelah kanan selalu sama dengan setengah kali luas permukaan bangun sebelah kiri? Apakah volume bangun sebelah kanan selalu sama dengan setengah kali volume bangun sebelah kiri?
Jika ya, tentukan perbandingan r : t. Untuk tiap pasangan bangun ruang yang sebangun, hitung volumeyang belum diketahui a. Bola di dalam kerucut. Dalam kerucut tersebut terdapat suatu bola yang menyinggung selimut dan alas kerucut. Dalam melaksanakan pembelajaran Matematika, diharapkan bahwa siswa dapat merasakan kegunaan belajar Matematika. Dalam pembelajaran, pemahaman konsep sering diawali secara induktif melalui pengamatan pola atau fenomena, pengalaman peristiwa nyata atau intuisi. Proses induktif-deduktif dapat digunakan untuk mempelajari konsep matematika.
Dengan demikian, cara belajar secara deduktif dan induktif digunakan dan sama-sama berperan penting dalam matematika. Dari cara kerja matematika tersebut diharapkan akan terbentuk sikap kritis, kreatif, jujur, dan komunikatif pada siswa. Pendidikan Matematika dapat diartikan sebagai proses perubahan baik kognitif, afektif, dan psikomotor ke arah kedewasaan sesuai dengan kebenaran logika.
Ada beberapa karakteristik mata pelajaran Matematika, antara lain:. Sebagian besar yang dipelajari dalam Matematika adalah angka atau bilangan yang secara nyata tidak ada atau merupakan hasil pemikiran otak manusia. Kebenaran dalam Matematika adalah kebenaran secara logika bukan empiris.
Artinya kebenarannya tidak selalu dapat dibuktikan melalui eksperimen seperti dalam ilmu Fisika atau Biologi. Contohnya nilai tidak dapat dibuktikan dengan kalkulator, tetapi secara logika ada jawabannya sehingga bilangan tersebut dinamakan bilangan imajiner khayal.
Pemberian atau penyajian materi Matematika disesuaikan dengan tingkatan pendidikan dan dilakukan secara terus-menerus. Artinya dalam mempelajari Matematika harus secara berulang melalui latihan-latihan soal.
Materi yang akan dipelajari harus memenuhi materi prasyarat sebelumnya. Contohnya ketika akan mempelajari tentang volume atau isi suatu bangun ruang maka harus menguasai tentang materi luas dan keliling bidang datar. Dalam Matematika penyampaian materi menggunakan simbol-simbol yang telah disepakati dan dipahami secara umum.
Materi Matematika banyak digunakan atau diaplikasikan dalam bidang ilmu lain. Misalnya materi fungsi digunakan dalam ilmu Ekonomi untuk mempelajari fungsi permintan dan fungsi penawaran. Berdasarkan karakteristik tersebut maka Matematika merupakan suatu ilmu yang penting dalam kehidupan bahkan dalam perkembangan ilmu pengetahuan. Hal ini yang harus dipahami oleh guru dan ditekankan kepada siswa sebelum mempelajari Matematika.
Perkembangan Matematika, bermula dari kepekaan serta kesadaran ataupun kepedulian manusia untuk memahami fenomena-fenomena empiris yang ditemui dalam kehidupan keseharian. Bermunculanlah konsep-konsep dasar yang selanjutnya mengalami perluasan ekspansi , pembenaran justification , pembenahan serta generalisasi atau formalisasi. Konsep Matematika disajikan dengan bahasa yang jelas dan spesifik.
Bahasa matematika yang digunakan dalam Matematika sangat efisien dan merupakan alat yang ampuh untuk menyatakan konsep-konsep matematika, merekonstruksi konsep atau menata suatu penyelesaian secara sistematis setelah terlaksananya eksplorasi, dan terutama untuk komunikasi. Bahasa matematika ini tidak ambigu namun singkat dan jelas. Hal ini sangat diperlukan terutama dalam menyusun suatu definisi ataupun teorema.
Kecakapan atau kemahiran matematika merupakan bagian dari kecakapan hidup yang harus dimiliki siswa terutama dalam pengembangan penalaran, komunikasi, dan pemecahan masalah-masalah yang dihadapi dalam kehidupan siswa sehari-hari.
Matematika selalu digunakan dalam segala segi kehidupan, semua bidang studi memerlukan keterampilan matematika yang sesuai, merupakan sarana komunikasi yang kuat, singkat dan jelas, dapat digunakan untuk menyajikan informasi dalam berbagai cara, meningkatkan kemampuan berpikir logis, ketelitian dan kesadaran keruangan, memberikan kepuasan terhadap usaha memecahkan masalah yang menantang, mengembangkan kreativitas dan sebagai sarana untuk meningkatkan kesadaran terhadap perkembangan budaya.
Terdapat kaitan antara penguasaan matematika dengan ketinggian, keunggulan dan kelangsungan hidup suatu peradaban.
Penguasaan matematika tidak cukup hanya dimiliki oleh sebagian orang dalam suatu peradaban. Setiap individu perlu memiliki penguasaan matematika pada tingkat tertentu.
Penguasaan individual demikian pada dasarnya bukanlah penguasaan terhadap matematika sebagai ilmu, melainkan penguasaan akan kecakapan matematika mathematical literacy yang diperlukan untuk dapat memahami dunia di sekitarnya serta untuk berhasil dalam kehidupan atau kariernya.
Kecakapan matematika yang ditumbuhkan pada siswa merupakan sumbangan mata pelajaran Matematika kepada pencapaian kecakapan hidup yang ingin dicapai melalui kurikulum Matematika. Mata pelajaran Matematika bertujuan agar siswa dapat:. Analisis kesalahan. Tentukan kesalahan yang dilakukan oleh Lily. Tentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari grafik fungsi di bawah ini. Diketahui suatu barisan 3, 11, 26,…. Tentukan barisan ke Diketahui suatu barisan barisan 5, 19, 29,….
Tentukan nilai maksimum dari barisan tersebut. Tiba-tiba dia melihat orang yang sedang berdiri di tengah jalan yang berjarak 15 m di depan mobilnya. Apakah mobil tersebut menabrak orang didepannya itu? Tinggi dari air terjun ini adalah m.
Pada suatu hari ada seseorang yang melepas ikan tepat dari atas air terjun. Tentukan berapa waktu yang diperlukan ikan tersebut untuk mencapai dasar air terjun? Sebuah roket mempunyai dua bahan bakar yaitu salah satunya berada pada pada bagian ekor. Pada ketinggian tertentu bahan bakar ini akan dibuang untuk mengurangi bobot. Jika ekor roket dibuang pada saat mencapai tinggi maksimum, berapa tinggi roket pada saat membuang bahan bakarnya?
Seorang atlet tolak peluru mempunyai tinggi cm. Atlet ini melempar peluru tepat di atas kepalanya. Ternyata lemparannya mempunyai tinggi maksimum 4,5 meter dan secara horisontal berjarak 2,5 meter dari pemain. Jika lemparannya membentuk parabola tentukan jarak yang dicapai peluru tersebut!
Sumber: Dokumen Kemdikbud Balon udara jatuh dari ketinggian 32 kaki. Kapan balon ini mencapai tanah? Apakah kalian pernah memindahkan atau menggeser suatu benda dari suatu tempat ke tempat lainnya? Ketika kalian memindahkan suatu benda ke tempat lain maka bentuk benda tetaplah seperti semula, hanya saja posisi dari benda telah berubah dari posisi awalnya. Apakah kalian pernah memperhatikan bentuk dari bayangan kalian saat bercermin? Bagaimana caramu untuk menggambar bayangan benda hasil suatu pencerminan?
Pernahkah kamu memperhatikan suatu roda sepeda yang sedang berputar searah maupun berlawanan dengan jarum jam? Apakah roda sepeda tersebut sedang berotasi? Hal-hal apa saja yang mempengaruhi rotasi suatu benda? Apakah kamu mengetahui apa itu dilatasi pada suatu benda? Faktor apa saja yang mempengaruhi dilatasi?
Kamu akan mengetahui jawaban dari setiap pertanyaan dan Pengalaman permasalahan tersebut dengan menggunakan transformasi Belajar geometri.
Konsep mengenai transformasi pada benda akan kita pelajari bersama di Bab 3 ini. Menggambar bayangan benda hasil refleksi pada cermin. Mengenali garis simetri serta menentukan banyak simetri lipat suatu benda.
Menggambar bayangan benda hasil transformasi refleksi, translasi, rotasi, atau dilatasi. Menentukan koordinat bayangan benda hasil transformasi refleksi, translasi, rotasi, atau dilatasi pada koordinat kartesius.
Menentukan pasangan bilangan translasi yang menggerakkan bangun datar maupun titik pada koordinat kartesius. Menentukan apakah dilatasi merupakan pembesaran atau pengecilan.
Menentukan faktor skala untuk dilatasi yang diberikan. Menggambar dan menentukan koordinat bayangan hasil transformasi berulang. Menerapkan transformasi dalam masalah nyata seni dan alam. Masyarakat barat mengenalnya dengan nama Alhazen. Ibn al-Haytham hidup di masa Daulah Abbasiyah, salah satu dinasti muslim besar yang pernah berkuasa di Timur Tengah hingga Eropa. Alhazen seorang prolific tulen.
Ia memperkenalkan nama bagian-bagian Ibnu al-Haytham mata yang kita kenal melalui terjemah Latinnya seperti vitreous humour, aqueous humour, retina, kornea, dan lain-lain. Karya Ibnu al-Haytham di bidang optik pada masa itu seakan melampaui jaman.
Dari eksperimen yang dilakukan, Ibn al-Haytham berkesimpulan bahwa cahaya merambat lurus. Ia mengembangkan konsep pemantulan pada cermin parabolik. Ia juga melakukan eksperimen untuk pembiasan.
Ibn al-Haytham jugalah yang menyatakan bahwa ketika cahaya memasuki suatu medium yang lebih rapat, cahaya tersebut bergerak lebih lambat. Karya Ibnu al-Haytham dalam bidang optik ini berkaitan erat dengan salah satu aplikasi matematika di bidang transformasi geometri, yaitu refleksi. Bagaimana caramu menentukan koordinat bayangan hasil pencerminan pada koordinat kartesius?
Supaya kamu dapat mengetahui dan memahami jawaban pertanyaan di atas lakukanlah kegiatan-kegiatan di bawah ini. Kegiatan 1 Pencerminan Suatu Benda Ketika melihat foto bangunan di samping, maka kamu akan melihat bayangan dari bangunan tersebut pada permukaan air.
Perhatikan bahwa setiap titik dari bangunan asli di atas garis air memiliki titik yang bersesuaian dengan bayangannya pada air. Bayangan dari bangunan tersebut pada nan pada Air air dikenal dengan refleksi pencerminan bangunan pada air. Refleksi atau pencerminan merupakan salah satu jenis transformasi yang memindahkan setiap titik pada suatu bidang atau bangun geometri dengan menggunakan sifat benda dan bayangannya pada cermin datar.
Perhatikan gambar di bawah. Apakah kamu ingat saat bercermin? Pada saat mendekati cermin, tampak bayanganmu juga akan mendekati cermin. Ketika kamu bergerak menjauhi cermin, bayanganmu juga akan menjauhi cermin. Ayo Kita Menanya Setelah kamu mengamati contoh-contoh pencerminan refleksi serta cara membuat bayangan hasil pencerminan suatu bangun datar pada Kegiatan 1, sekarang buatlah pertanyaan dengan menggunakan kata pencerminan refleksi.
Lakukanlah kegiatan berikut ini. Gambar bayangan dari tiap-tiap bangun datar sesuai dengan garis refleksi tiap-tiap gambar. Ikuti langkah-langkah menggambar bayangan hasil pencerminan suatu bangun datar pada Kegiatan 1. Dikusi dan Berbagi Setelah kamu selesai menggambar bayangan hasil pencerminan dari tiap-tiap bangun datar, selanjutnya diskusikan hasil yang telah kamu dapatkan dengan teman sebangkumu.
Periksalah apakah kalian memiliki jawaban yang sama. Majulah ke depan kelas, bagikan hasil diskusimu kepada teman sekelasmu. Pada bagian belakang tutup botol berikan selotip sehingga tutup botol tersebut dapat ditempelkan pada kertas. Gambarlah koordinat kartesius pada kertas karton dengan menggunakan spidol dan penggaris seperti gambar di samping ini. Setiap anak, secara bergantian, diberikan tugas untuk melakukan Subkegiatan 3.
Letakkan tutup botol pada koordinat A 3, 4. Gambar ruas garis yang tegak lurus terhadap sumbu-x dari titik A. Hitung jarak titik A terhadap sumbu-x.
Berapa satuan jarak titik A terhadap sumbu-x? Letakkan tutup botol pada koordinat B 2, 3. Gambar ruas garis yang tegak lurus terhadap sumbu-y dari titik B. Hitung jarak titik B terhadap sumbu-y. Berapa satuan jarak titik B terhadap sumbu-y?
Sub Kegiatan 3. Letakkan tutup botol pada koordinat C 4, 4. Gambar ruas garis yang tegak lurus terhadap titik asal dari titik C. Hitung jarak titik C terhadap titik asal O 0, 0.
Berapa satuan jarak titik C terhadap titik asal O 0, 0? Letakkan tutup botol pada koordinat D 4, 5. Kemudian gambar ruas garis yang tegak lurus terhadap titik asal dari titik D. Letakkan tutup botol pada koordinat E 5, 7. Kemudian gambar ruas garis yang tegak lurus terhadap titik asal dari titik E. Tuliskan pertanyaanmu tersebut dengan rapi pada buku tulismu.
Ayo Kita Gali Informasi Setelah kamu melakukan Kegiatan 3 bersama teman kelompokmu, coba kamu amati koodinat hasil pencerminan pada tiap-tiap sub kegiatan. Lengkapi Tabel 3. Titik Koordinat Pencerminan Terhadap Bayangan 1.
Dikusi dan Berbagi Setelah kamu mengisi Tabel 3. Untuk sembarang titik x, y yang dicerminkan terhadap: 1. Tuliskan jawabnmu tersebut pada kertas dan paparkan kepada teman sekelasmu. Kemudian buatlah koordinat kartesius pada kertas tersebut.
Lakukanlah kegiatan di bawah ini. Tabel 3. Berdasarkan Kegiatan 4 dan hasil pengamatanmu pada Tabel 3. Tuliskan jawabnmu tersebut pada kertasdan paparkan kepada teman sekelasmu. Sedikit Informasi Simetri Lipat Beberapa gambar dapat dilipat sedemikian sehingga setengah bangun tersebut sama dengan bagian yang lain. Lipatan yang dimaksud merupakan garis refleksi yang disebut garis simetri atau simetri lipat.
Tunjukkan bahwa bayangan sebuah titik yang direfleksikan terhadap titik asal sama dengan bayangan titik tersebut jika direfleksikan terhadap sumbu -x dan dilanjutkan refleksi di sumbu-y. Gambarlah segitiga tersebut kemudian gambar hasil bayangannya jika dicerminkan terhadap: a. Sumbu-x b.
Sumbu-y c. Titik asal O 0,0 d. Berdasarkan Kegiatan 3 dan Kegiatan 4 di atas, kesimpulan apa yang kamu peroleh? Perhatikan contoh kesimpulan berikut ini. Berdasarkan Subkegiatan 3. Jika diketahui sebarang titik dengan koordinat x, y pada koordinat kartesius, maka koordinat bayangan hasil pencerminannya dapat dilihat pada Tabel 3.
Pencerminan Terhadap Titik Koordinat Bayangan 1. Sumbu-x x, —y 2. Sumbu-y —x, y 3. Titik Asal O 0, 0 —x, —y 4. Gambar segitiga ABC dan bayangannya yang direfleksikan terhadap sumbu-x. Bandingkan koordinat titik-titik ABC dengan koordinat bayangannya. Latihan 3. Tunjukkan apakah gambar yang berwarna biru merupakan hasil pencerminan dari gambar yang berwarna merah.
Berikan penjelasanmu. Tentukan berapa banyak simetri lipat yang dimiliki gambar berikut. Gambar masing-masing bangun berikut dan bayangannya terhadap refleksi yang diberikan. Trapesium dengan titik sudutnya di D 4, 0 , E —2, 4 , F —2, —1 , dan G 4, —3 terhadap titik asal. Huruf mana yang akan tetap sama jika dicerminkan terhadap suatu garis?
Segitiga HIJ direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian sumbu-y, kemudian titik asal. Tentukan koordinat H, I, dan J. Bagaimana caramu menentukan koordinat bayangan hasil translasi pada koordinat kartesius? Supaya kamu mengetahui dan memahami jawaban dari pertanyaan di atas lakukan kegiatan- kegiatan di bawah ini.
Ketika kamu berhasil memindahkan meja tersebut maka posisi meja akan berubah dari posisi awal menuju posisi akhir. Gerakan memindahkan meja tersebut merupakan salah satu contoh dari translasi. Sumber: Dokumen Kemdikbud Gambar 3. Pilih sebarang titik sudut pada bangun awal a kamu dapat memilih sebarang titik sudut dari bangun , kemudian beri nama titik sudut tersebut A.
Hitung berapa satuan panjang garis horizontal yang menunjukkan seberapa jauh bangun datar a bergeser bertranslasi secara horizontal ke kanan. Hitung berapa satuan panjang garis vertikal yang menunjukkan seberapa jauh bangun datar a bergeser bertranslasi secara vertikal ke bawah.
Ayo Kita Menanya Setelah kamu memahami Kegiatan 1 di atas, sekarang buatlah pertanyaan dengan menggunakan beberapa kata berikut: translasi, sumbu horizontal, sumbu vertikal.
Sedikit Informasi Jika suatu translasi pergeseran pada suatu benda dilakukan sepanjang garis horizontal, maka translasi tersebut akan bernilai positif jika benda ditranslasikan ke arah kanan, dan bernilai negatif jika benda ditranslasikan ke arah kiri.
Ayo Kita Gali Informasi Berdasarkan informasi yang telah kamu dapatkan sebelumnya serta Kegiatan 1, jawablah pertanyaan berikut. Gambarlah segi empat tersebut kemudian gambar hasil bayangannya jika ditranslasikan sejauh 4 satuan ke kiri dan 2 satuan ke bawah. Titik Asal O 0, 0 —x, —y B 3, C 4, — Coba kamu perhatikan Tabel 3. Apakah kolom kedua dan kolom ketiga dari tabel di atas memiliki nilai yang sama?
Salah satu cara untuk mendapatkan koordinat bayangan hasil translasi adalah dengan menambahkan secara langsung bilangan yang menunjukkan translasi dengan koordinat awal bangun. Jika suatu translasi pada suatu titik dilakukan sepanjang garis horizontal, maka bilangan translasi tersebut akan bernilai positif jika titik tersebut ditranslasikan ke arah kanan, dan bernilai negatif jika titik ditranslasikan ke arah kiri. Jika translasi pada suatu titik dilakukan sepanjang garis vertikal, maka bilangan translasi tersebut akan bernilai positif jika titik ditranslasikan ke arah atas, dan bernilai negatif jika titik ditranslasikan ke arah bawah.
Ayo Kita Menalar Setelah kamu melakukan Kegiatan 1 dan 2, maka kamu telah mengetahui cara mendapatkan koordinat bayangan hasil translasi dari suatu titik maupun bangun datar. Sekarang jawablah pertanyaan di bawah ini agar kamu mengetahui jenis translasi yang menggerakkan koordinat suatu bangun.
Tentukan translasi pasangan bilangan translasi yang menggerakkan segitiga merah menjadi segitiga biru. Diskusikan jawabanmu dengan teman sebangkumu. Ayo Kita Simpulkan Setelah kamu melakukan beberapa kegiatan di atas, coba kamu simpulkan bagaimana cara mendapatkan koordinat hasil translasi dari suatu benda pada koordinat kartesius?
Translasi pada bidang Kartesius dapat dilukis jika kamu mengetahui arah dan seberapa jauh gambar bergerak secara mendatar dan atau vertikal. Perhatikan contoh berikut ini.
Garis m dan n sejajar. Tentukan apakah bangun berwarna merah merupakan translasi bangun yang berwarna biru, segi empat ABCD. Tentukan koordinat X, Y, dan Z. Tentukan apakah gambar yang berwarna biru merupakan hasil pencerminan dari gambar yang berwarna merah. Gambar dan tentukan koordinat hasil translasi dari bangun datar di bawah ini.
Translasikan segitiga merah sejauh 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke bawah. Tentukan pula translasinya. Gambarlah segitiga tersebut beserta bayangannya setelah translasi: a. Jelaskan translasi yang menggerakkan —2 bangun datar yang berwarna biru —3 menjadi bangun datar yang berwarna —4 merah. Seekor harimau sedang berburu rusa di dalam hutan. Berdasarkan hasil pemantauan diketahui bahwa koordinat rusa berada di titik A dan koordinat harimau berada pada titik B.
Rusa tersebut kemudian bergerak menuju titik C. Tentukan pasangan bilangan translasi yang menggerakkan rusa dari titik A menuju titik C. Jika harimau menggunakan translasi yang sama dengan yang dilakukan oleh rusa, apakah harimau dapat menangkap rusa tersebut?
Tentukan pasangan bilangan translasi yang harus dilakukan oleh harimau agar ia mendapatkan rusa. Apa yang dimaksud dengan rotasi pada suatu benda? Bagaimana caramu menentukan koordinat bayangan hasil rotasi pada koordinat kartesius?
Roda tersebut dapat diputar searah jarum jam seperti yang terlihat pada Gambar 3. Gerakan putaran roda merupakan salah satu contoh dari rotasi. Rotasi merupakan salah satu bentuk transformasi yang memutar setiap titik pada gambar sampai sudut dan arah tertentu terhadap titik yang tetap.
Titik tetap ini disebut pusat rotasi. Besarnya sudut dari bayangan benda terhadap posisi awal disebut dengan sudut rotasi.
Salah satu contohnya adalah Planet Bumi berputar atau berotasi pada porosnya. Pada pembelajaran terdahulu, kamu juga telah mempelajari bahwa beberapa benda memiliki simetri putar. Karena segi enam setelah diputar kurang dari o termasuk 0o bentuknya sama seperti semula, maka segi enam memiliki simetri putar tingkat enam.
Ayo Kita Gali Informasi Sekarang coba kamu sebutkan sedikitnya 5 bangun yang memiliki simetri putar dan sebutkan bangun tersebut memiliki simetri putar tingkat berapa. Tariklah garis lurus dari titik P ke arah pusat puzzle tersebut.
Rotasikan puzzle tersebut o searah jarum jam dengan pusat rotasi di titik P. Puzzle mana yang menjadi hasil rotasinya? Jika puzzle tersebut dirotasikan 90o berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi titik P, puzzle mana yang menjadi bayangan hasil rotasinya?
Jika puzzle tersebut dirotasikan o berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi titik P, puzzle mana yang menjadi bayangan hasil rotasinya? Bagaimana jika puzzle tersebut dirotasikan o berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi titik P, puzzle mana yang menjadi bayangan hasil rotasinya? Apakah hasilnya sama? Apakah pilihan D merupakan hasil rotasi dari puzzle awal? Jika tidak, jenis transformasi apakah yang ditunjukkan oleh pilihan D terhadap puzzle awal? Ayo Kita Menanya Setelah kamu melakukan Kegiatan 2, buatlah pertanyaan dengan menggunakan beberapa kata berikut: rotasi, searah jarum jam, berlawanan jarum jam, sudut rotasi, dan pusat rotasi.
Buatlah titik W 7, 7 dan titik A 5, 4. Gambar dan tentukan bayangan titik W dan A pada rotasi 90o dengan pusat rotasi titik asal O 0, 0 searah jarum jam. Gambar dan tentukan bayangan titik W dan A pada rotasi 90o dengan pusat rotasi titik asal O 0, 0 berlawanan arah jarum jam. Jika titik W dan A dirotasikan sejauh o dengan pusat rotasi titik asal O 0, 0 searah jarum jam, berapakah koordinat bayangannya?
Apakah hasilnya sama jika kamu merotasikan titik tersebut sejauh o dengan pusat rotasi titik asal O 0, 0 berlawanan arah jarum jam? Ikuti langkah-langkah di bawah ini. Gambar ruas garis dari titik asal ke titik P. Tariklah garis OP dengan O menunjukkan titik asal. Gunakan busur untuk mengukur sudut 60o berlawanan arah jarum jam dengan OP sebagai salah satu sisinya.
Gunakan jangka untuk menyalin OP di OT. Lakukan langkah-langkah yang sama seperti pada bagian Ayo Kita Mencoba. Dikusi dan Berbagi Setelah kamu menjawab pertanyaan pada bagian Ayo Kita Menalar, tuliskan jawabanmu di buku tulismu. Ayo Kita Simpulkan Setelah kamu melakukan Kegiatan 4, apa yang dapat kamu simpulkan?
Jika sembarang titik x, y dirotasikan 90o dengan pusat rotasi titik asal O 0, 0 searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam bagaimana koordinat bayangan hasil rotasinya?
Isilah Tabel 3. Materi Esensi 3. Besarnya sudut dari bayangan sudut benda terhadap posisi awal disebut dengan sudut rotasi rotasi. Sudut ini disebut sudut rotasi. Jika berlawanan arah dengan arah perputaran jarum jam, maka sudut putarnya positif. Jika searah perputaran jarum jam, maka sudut putarnya negatif. Pada rotasi, bangun awal selalu kongruen dengan bayangannya. Hubungkan —4 keempat titik tersebut. Ayo Kita Tinjau Ulang Setelah kamu mengamati, menggali informasi, dan menanya, sekarang selesaikan permasalahan berikut.
Gambar bayangan rotasi dari Segi empat ABCD dengan A —5, 4 , B —5, 1 , C —1, 1 dan D —2, 4 berikut dengan sudut 90o jika diketahui arah rotasi berlawanan jarum jam dan pusat rotasi di titik C. Tentukan koordinat titik-titik bayangannya. Jelaskan apakah gambar yang berwarna biru merupakan hasil rotasi dari gambar yang berwarna merah. Jika ya, dapatkan berapa besar sudut rotasi dan bagaimana arah dari rotasi tersebut.
Gambarlah bayangan PQRS pada rotasi 90o berlawanan arah jarum jam yang berpusat di titik asal. Kemudian rotasikan segitiga tersebut sebesar 90o searah jarum jam yang berpusat di titik H. Gambar bayangan rotasi setiap bangun berikut dengan sudut 90o jika diketahui arah dan pusat rotasi. Gambar bayangan tranformasi untuk setiap segitiga berikut dengan mencerminkan segitiga pada garis yang diketahui. Bayangan akhir dari setiap bangun juga merupakan hasil rotasi.
Tentukan koordinat bayangan dan sudut rotasi. Diketahui segitiga JKL seperti pada gambar di bawah ini. Rotasikan segitiga JKL dengan sudut rotasi 90o searah jarum jam dengan pusat rotasi titik asal 0, 0. Rotasikan segitiga JKL dengan sudut rotasio searah jarum jam dengan pusat rotasi titik asal 0, 0.
Gambar bayangan hasil transformasinya jika diketahui segitiga tersebut: a. Dirotasi 90o searah jarum jam yang berpusat di titik asal kemudian dicerminkan terhadap sumbu-y.
Dirotasi 90o berlawanan arah jarum jam yang berpusat di titik asal kemudian didilatasi dengan faktor skala 2 berpusat di titik asal. Dirotasi o berlawanan arah jarum jam yang berpusat di titik asal kemudian diitranslasi setelah itu dicerminkan terhadap sumbu-x.
Dilatasi merupakan jenis lain dari transformasi. Namun, bayangan dilatasi mungkin memiliki ukuran yang berbeda dari gambar aslinya.
Dilatasi merupakan transformasi yang mengubah ukuran sebuah gambar. Dilatasi membutuhkan titik pusat dan faktor skala. Apa itu titik pusat dilatasi dan faktor skala? Lakukan kegiatan di bawah ini agar kamu dapat menjawab pertanyaan tersebut. Kegiatan 1 Dilatasi Benda Ayo Kita Amati Gambar di bawah ini menunjukkan bagaimana dilatasi dapat menghasilkan bayangan yang lebih besar dan bayangan yang lebih kecil dari aslinya.
Berapakah koordinat dari titik A2, B2, dan C2? Berapakah koordinat dari titik A3, B3, dan C3? Berapakah panjang PA2 jikadibandingkan dengan PA? Bagaimana dengan perbandingan kedua sisi yang lain? Apakah sama? Berapa koordinat bayangan hasil dilatasi? Ayo Kita Menanya Setelah kamu melakukan Kegiatan 1, buatlah pertanyaan dengan menggunakan beberapa kata berikut: koordinat bayangan, dilatasi, dan faktor skala.
Gambar segitiga asal dan bayangannya. Kamu dapat dengan mudah menentukan titik- titik koordinat bayangan dengan mengalikan titik koordinat asli dengan faktor skala. Bagaimana jika pusat dilatasi bukan di titik asal O 0, 0? Jelaskan bagaimana caramu menentukan bayangan suatu bangun yang berpusat di suatu titik P a, b.
Setelah kamu melakukan beberapa kegiatan di atas, coba kamu buat kesimpulan dengan menjawab beberapa pertanyaan berikut ini. Apa saja faktor yang menentukan dalam proses dilatasi? Jika suatu titik P x, y didilatasi dengan pusat O 0, 0 dengan faktor skala k, bagaimana koordinat akhirnya?
0コメント